PROBLEMAS MATEMATICO

Algunos consejos para resolver problemas

Hirió mi mente un relámpago,  que colmó mi deseo.

DANTE: Paradiso, Canto XXXIII

Por favor, dame un problema

Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas. 

Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.  

¿Qué es un problema?

El verdadero problema es que hace ya mucho tiempo que en las enseñanzas medias se olvidaron de los problemas. No me preguntes por qué. Yo no soy ningún experto en el tema, pero mi impresión es que en algunas de las teorías pedagógicas de moda (las que hablan de enseñanza lúdica o de aprender a aprender y otras bobadas por el estilo) subyace una enorme desconfianza en la capacidad de los jóvenes para aprender. Por ello, no es extraño que en la Reforma de las enseñanzas medias los ejercicios más o menos triviales hayan acabado por sustituir a los bonitos problemas de antes, aquellos que proponían los profesores antes de que los teóricos de todas las reformas les convencieran de que sus alumnos eran demasiado torpes. Por eso, es muy posible que hayas llegado a la universidad sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.

EJERCICIOS

• De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
• Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
• El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
• Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS

• Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.  
• Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
• El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

La actitud inicial es importante
Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo. 

Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.

Busca el éxito a largo plazo
Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

 

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos. Los que siguen están sacados del libro How To Solve It de George Polya y de los libros Aventuras Matemáticas y Para pensar mejor de Miguel de Guzmán cuya lectura te recomiendo vivamente. 

A Comprende el problema

Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones... Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito. 

B Elabora un plan de actuación
Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.

C Lleva adelante tu plan

Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento. 

¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco. 

D Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso
¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar. 

• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien? 
• Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple. 
• Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar otros problemas." 
• Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

E Redactar el proceso de resolución

Esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

• Buscar semejanzas con otros problemas
  Nada hay nuevo bajo el sol. ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?
  
• Reducir lo complicado a lo simple
  Normalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos.
  
• Considerar casos particulares
  En algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.
  
• Hacer un dibujo
  A veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.
  
   
• Estudiar todos los casos posibles
  Se trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.
  
• Elegir una buena notación
  Eligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.
  
   
• Incorporar algo adicional
  A veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas.
  
• Ensayo y error
  Es una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.
  
• Trabajar hacia atrás
  A veces es de gran ayuda imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.
  
• Razonamiento indirecto
  Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta.  Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.
  
• Aprovechar la simetría
  En algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.
  
• Usar técnicas generales
  Por ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.
  
• Usar programas de cálculo simbólico
  Si puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Mathematica, Maple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso. 

FRACCIONARIOS

Números fraccionarios. Se encuentran dentro del conjunto de los números racionales (Q) y se expresan de las forma a/b o como una expresión decimal periódica.
Surgen por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales.

Contenido

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• 1 Introducción
  • 1.1 Definición
  • 1.2 Formas de expresión
• 2 Representación de los números fraccionarios sobre una recta numérica
• 3 Ordenar y comparar números fraccionarios expresados en diferentes formas
• 4 Adición y sustracción de números fraccionarios
• 5 Multiplicación y división de números fraccionarios
  • 5.1 Multiplicación
  • 5.2 División
  • 5.3 Vease
• 6 Fuente

Introducción

Los números están en cada una de las acciones de la vida cotidiana y con ellos podemos contar, ordenar, medir y comparar dos o varias cantidades.
Para cada acción siempre se utilizan diferentes tipos de números.
Un mismo número puede representar cantidades diferentes de acuerdo con su significado, y en otras ocasiones, números expresados de formas diferentes pueden tener el mismo significado.

Diferentes números expresando la misma cantidad.

A partir de las diferentes operaciones de cálculo que podemos realizar con los números, han ido surgiendo los conjuntos numéricos y dentro de ellos los el de los números fraccionarios.

Definición

Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero.

En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.

Formas de expresión

Una fracción puede considerarse como el cociente exacto de dividir el numerador entre el denominador, de ahí que se pueda escribir también como el cociente a : b. 
Una fracción representa un número natural cuando al dividir el numerador por el denominador el resto de la división es cero.

Las fracciones comunes se pueden expresar en notación decimal. El número que se encuentra a la izquierda de la coma es la parte entera y las cifras que quedan situadas a la derecha de la coma son la parte decimal. La primera cifra después de la coma representa las décimas, la segunda las centésimas, la tercera las milésimas y así sucesivamente.

10 décimas forman una unidad, 10 centésimas forman una décima y 10 milésimas forman una centésima. Luego una unidad tiene 10 centésimas, 100 centésimas y 1000 milésimas. 

También existen las fracciones propias y las impropias:

• Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
• Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.
• Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural.

Representación de los números fraccionarios sobre una recta numérica

Las fracciones propias o expresiones decimales cuya parte entera es cero, siempre estarán situadas entre 0 y 1. Para representarlas se divide la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador y posteriormente se determina el punto que representa las partes que indica el numerador. Si la fracción es un medio, la unidad se divide en dos partes iguales y el punto que corresponde a esa fracción es el que indica la mitad de la unidad. Para representar en la recta numérica una expresión decimal se puede expresar como fracción común (aunque no es necesario).

En muchas ocasiones se ubica por su significado. Las fracciones impropias, que pueden aparecer representadas como números mixtos o expresiones decimales donde la parte entera es diferente de cero, siempre se ubican en la recta numérica a la derecha de 1. Para ello se ubica primero el punto correspondiente a la parte entera y a partir de él, se determina en qué punto de la próxima unidad está ubicada la fracción o parte decimal del número, siendo este último, el lugar de la recta numérica donde queda situado este número fraccionario o fracción.

El menor número fraccionario es cero pero entre un número fraccionario y otro existen infinitos números más, luego no tienen antecesor ni sucesor. Se dice que este dominio numérico es un dominio denso.

Ordenar y comparar números fraccionarios expresados en diferentes formas

Al igual que en los números naturales, de dos fracciones es menor la que se encuentre situada más a la izquierda en la recta numérica. 
Existen varias maneras de comparar números fraccionarios (o fracciones comunes). 
De dos fracciones que tienen igual numerador es menor la que tenga mayor denominador. 
Las fracciones de igual denominador mantienen la misma relación de orden que sus numeradores. 
Cuando dos fracciones tienen diferentes numeradores y denominadores para su comparación se debe conocer que:

• Toda fracción propia es menor que 1 y que cualquier fracción impropia.
• Si las dos son propias o las dos son impropias se aplica el procedimiento del producto cruzado.

Adición y sustracción de números fraccionarios

En caso de las expresiones decimales la adición y la sustracción se calculan como si fueran números naturales, escribiendo la coma debajo de la coma de modo que las unidades del mismo orden queden una debajo de la otra. 
Para facilitar el cálculo en una sustracción donde el minuendo tenga menos cifras decimales que el sustraendo, se añaden al primero tantos ceros hasta igualar la cantidad de cifras decimales de ambos elementos y en el resultado se escribe la coma en el mismo lugar que ocupa en los elementos de la adición o sustracción. 
Para adicionar fracciones de igual denominador, se adicionan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Para sustraer fracciones de igual denominador, al numerador del minuendo se le sustrae el numerador del sustraendo y se mantiene el mismo denominador. 
En ambas operaciones el resultado se simplifica si es posible. 
Para adicionar o sustraer fracciones de diferente denominador se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores, se amplían los numeradores y luego se adicionan o se sustraen, manteniendo en el resultado el denominador. El resultado se simplifica si es posible. 
La adición de números naturales y fraccionarios es conmutativa y asociativa. 
El conocimiento de estas propiedades nos permite aplicarlas para realizar cálculos de una forma más ventajosa. 
La sustracción de números naturales y fraccionarios por su parte, no es conmutativa ni asociativa.

Multiplicación y división de números fraccionarios

Multiplicación

Para multiplicar expresiones decimales donde se calcula el producto como si los factores fueran números naturales y en el resultado se ubica la coma decimal contando a partir de la derecha tantos lugares decimales como haya en los dos factores juntos.
En el caso de que los factores sean fracciones, se simplifica si es posible y luego se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. También puede multiplicarse primero y después simplificar el resultado. 
La multiplicación de números naturales y fraccionarios es conmutativa y asociativa, y al igual que en la adición, la aplicación de estas propiedades puede resultar ventajosa para el cálculo. 
Para dividir un número natural entre una expresión decimal (123 : 0,6) o una expresión decimal entre otra (1,02 : 0,5) se procede a transformar la divisiónpara eliminar la coma del divisor. Para lograrlo se multiplica el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000,… según la cantidad de lugares decimales que tenga divisor y se procede a hacer la división. 
Otra forma sería multiplicar dividendo y divisor por 10, 100, 1000,… atendiendo a la cantidad de lugares decimales del que mayor cantidad de estas cifras tenga. Luego se dividen los números naturales que se obtienen. 
Al terminar de dividir todos los dígitos que tiene el dividendo, si la división no resulta exacta, se coloca la coma decimal en el cociente para poder continuar la división.

División

En el caso de la división de fracciones se procede de la siguiente forma:

• La división se expresa como la multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor.
• Se resuelve la multiplicación indicada.

En el caso de que alguna de las fracciones originales tenga simplificación podemos realizarla antes de realizar el primer paso.

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COMO CONSTRUIR UN CUADRO MAGICO

CUADRADOS  MÁGICOS

       Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado.

       Si la condición no se cumple para las diagonales, entonces se llaman cuadrados latinos.

       El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana.

       Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. Así, uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. No existen cuadrados mágicos de orden 2.

       Aunque todos los matemáticos han reconocido siempre la falta de aplicaciones de los cuadrados mágicos, algunos se han ocupado de ellos con mucha atención: el mérito y gracia del juego está en su insospechada dificultad.

       Si a, b y c son tres números enteros cualesquiera, la siguiente disposición muestra la forma general de un cuadrado mágico de orden 3:
  

a+b	a-(b+c)	a+c
a-(b-c)	a	a+(b-c)
a-c	a+(b+c)	a-b

       No hay métodos generales para construir cuadrados mágicos, sobre todo para los de orden par. Veamos un modo de construir fácilmente cuadrados mágicos de orden impar.

       1.    Tomemos una serie aritmética cualquiera, para mayor comodidad la serie de los números naturales, y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior.
       2.    La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha.
       3.    Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo, saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior, si se sale por la derecha, se sigue por la primera celda, a partir de la izquierda, de la fila superior.
       4.    Cuando la celda siguiente está ocupada, el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente, comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal.

       Como ejemplo, realicemos un cuadrado mágico de quinto orden:
  

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

       Finalmente, puesto que las sumas siguen siendo iguales entre si cuando multiplicamos todos los números de las casillas por un mismo factor, o les añadimos un mismo sumando, es claro que podemos alterar fácilmente, en esta forma el llenado de las casillas.

 1.   SUMA 15. Construye un cuadrado mágico de 3x3. (Suma=15)

 2.   SUMA 24. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24.

 3.   SUMA 18. Construye el cuadrado mágico de 3x3 tal que la suma de los 3 numeros elegidos sea 18.

 4.   OTRA SUMA DE 18. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18.

 5.   DEL 10 AL 18. Halla el número K, sabiendo que el cuadrado en el cual está inscrito es mágico y se compone de los números de 10 a 18.

	K

 6.   A COMPLETAR. Completa el siguiente cuadrado para que sea mágico.

67		43
	73

 7.   SUMA 34. Construye un cuadrado mágico de 4x4. (Suma=34)

 8.    COMPLETA 3x3. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado:

7		5
	8
11		9

 9.    COMPLETA 5x5. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado:

11		7		3
	12		8
17		13		9
	18		14
23		19		15

10.    CALCULA: A, B, C, D , E. Halla A, B, C, D, E en el siguiente cuadrado mágico:

15	A	35
50	B	C
25	D	E

11.   CUADRADO DIABÓLICO. Construye un cuadrado mágico de 4x4 (Suma=34). Los elementos de cada una de las nueve matrices 2x2 que componen el cuadrado también deben sumar 34.

12.    ORIGINAL 4X4. ¿Por qué es muy original el siguiente cuadrado mágico?

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

13    RELLENA 5x5. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágico el siguiente cuadrado:

1	20		23
24		2		10
17		25	14
15	4		7	21
	22	11		19

14.    CON LOS PARES. Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números pares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 30.

15.    CON LOS IMPARES. Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números impares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 27.

16.    PROBLEMA REVERSIBLE. a) Coloque en cada cuadrado libre un número menor que 10, de tal manera que en cada fila y en cada columna haya un número que se repita exactamente dos veces, y que la suma (de cada fila y de cada columna), sea 17.
         b) Dé la vuelta al cuadrado y resuélvalo nuevamente.
  

			8
	6
		6

NÚMEROS ENTREOS

NUMEROS ENNTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

 = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2.Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10     |−7| < |−10|

4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7     |10| > |7|

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b  

3 + (−5)  

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b  

10 − (−5)  

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b  

2 · (−5)  

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) : 6 

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m · a ⁿ = a^m+n

(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = −8

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

(−2)³ · (3)³ = (−6) ³ = −216

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

(−6)³ : 3 ³ = (−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.